(Subscript[f, 1]) = 1;
(Subscript[f, 2]) = x;
(Subscript[f, 3]) = x^2;
(Subscript[f, 4]) = x^3;

projection u onto v:  u.v/v.v  v

(Subscript[q, 1]) = (Subscript[f, 1]);

(Subscript[q, 2]) = Simplify[(Subscript[f, 2]) - Integrate[(Subscript[f, 2])*(Subscript[q, 1]),{x,-1,1}]/Integrate[(Subscript[q, 1])*(Subscript[q, 1]),{x,-1,1}] *(Subscript[q, 1])];

(Subscript[q, 2])

(Subscript[q, 3]) = Simplify[(Subscript[f, 3]) - (Integrate[(Subscript[f, 3])*(Subscript[q, 1]),{x,-1,1}]/Integrate[(Subscript[q, 1])*(Subscript[q, 1]),{x,-1,1}] *(Subscript[q, 1])+Integrate[(Subscript[f, 3])*(Subscript[q, 2]),{x,-1,1}]/Integrate[(Subscript[q, 2])*(Subscript[q, 2]),{x,-1,1}] *(Subscript[q, 2]))];

(Subscript[q, 3])

Integrate[(Subscript[q, 2])*(Subscript[q, 3]),{x,-1,1}]

(Subscript[q, 4]) = Simplify[(Subscript[f, 4]) - (Integrate[(Subscript[f, 4])*(Subscript[q, 1]),{x,-1,1}]/Integrate[(Subscript[q, 1])*(Subscript[q, 1]),{x,-1,1}] *(Subscript[q, 1])+Integrate[(Subscript[f, 4])*(Subscript[q, 2]),{x,-1,1}]/Integrate[(Subscript[q, 2])*(Subscript[q, 2]),{x,-1,1}] *(Subscript[q, 2])+Integrate[(Subscript[f, 4])*(Subscript[q, 3]),{x,-1,1}]/Integrate[(Subscript[q, 3])*(Subscript[q, 3]),{x,-1,1}] *(Subscript[q, 3]))];

(Subscript[q, 4])

For[k=1, k≤ 4, k=k+1,
(Subscript[t, k]) = (Subscript[f, k]) - Sum[Integrate[(Subscript[f, k])*(Subscript[t, j]),{x,-1,1}]/Integrate[(Subscript[t, j])*(Subscript[t, j]),{x,-1,1}] *(Subscript[t, j]),{j,1,k-1}]
]

Table[(Subscript[t, k]),{k,1,4}]

W = IdentityMatrix[4]-IdentityMatrix[4];

For[i=1, i≤ 4, i=i+1,
For[j=1,j≤ 4, j=j+1,
W[[i,j]] = Integrate[(Subscript[t, i])*(Subscript[t, j]),{x,-1,1}];
];
];

W//MatrixForm

For[j=1,j≤ 4, j=j+1,
(Subscript[p, j]) = 1/Sqrt[Integrate[(Subscript[t, j])*(Subscript[t, j]),{x,-1,1}]]* (Subscript[t, j]);
];

Table[(Subscript[p, j]),{j,1,4}]

For[i=1, i≤ 4, i=i+1,
For[j=1,j≤ 4, j=j+1,
W[[i,j]] = Integrate[(Subscript[p, i])*(Subscript[p, j]),{x,-1,1}];
];
];
W//MatrixForm

G = Sech[4*x+1]^2;

Plot1 = Plot[G,{x,-1,1}]

ProjG = Sum[NIntegrate[G*(Subscript[p, k]),{x,-1,1}]*(Subscript[p, k]),{k,1,4}];

Plot[{G,ProjG},{x,-1,1}]

U = {1+I, 2+4*I, 3-5*I};
V = {-2+2*I, I, 4};
W = {1-I, 2+2*I, 4*I};

U.Conjugate[V]

Cm = Transpose[{U,V,W}];

Cm//MatrixForm

(Wm= Transpose[Cm].Conjugate[Cm])//MatrixForm

ConjugateTranspose[Wm]//MatrixForm

X = {2+3*I, 3-4*I, 2+5*I};

X = Proj((Subscript[a, 1])U + (Subscript[a, 2])V  + (Subscript[a, 3]) W)

A = W^{-1}V

Winv =Inverse[Wm];

Vm = {{U.Conjugate[X]},{V.Conjugate[X]},{W.Conjugate[X]}};

Amat = Winv.Vm

Proj = Amat[[1,1]]*U + Amat[[2,1]]*V + Amat[[3,1]]*W