A  = {{1,-2},{-1,1}};

A//MatrixForm

N[Eigenvalues[A]]

N[Eigenvectors[A]]

A1 = A-λ*IdentityMatrix[2];

A1//MatrixForm

P = Det[A1]

Solve[P == 0, λ]

(Subscript[λ, 1]) = 1-(Sqrt[2]);

(Subscript[λ, 2]) = 1+(Sqrt[2]);

Det[A1/.{λ-> (Subscript[λ, 1])}]

V1 = {{(Subscript[v, 1])},{(Subscript[v, 2])}};

((A1.V1)/.{λ-> (Subscript[λ, 1])})//MatrixForm

Solve[{(Sqrt[2]) (Subscript[v, 1])-2 (Subscript[v, 2]) == 0,-(Subscript[v, 1])+(Sqrt[2]) (Subscript[v, 2]) == 0},{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2])}]

V1 = {{1},{1/Sqrt[2]}};

(A.V1==(Subscript[λ, 1])*V1) /.{λ-> (Subscript[λ, 1])}

V2 = {{(Subscript[v, 1])},{(Subscript[v, 2])}};

((A1.V2)/.{λ-> (Subscript[λ, 2])})//MatrixForm

Solve[{-(Sqrt[2]) (Subscript[v, 1])-2 (Subscript[v, 2])==0,-(Subscript[v, 1])-(Sqrt[2]) (Subscript[v, 2])==0},{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2])}]

V2 = {{15},{-15/Sqrt[2]}};

(A.V2==(Subscript[λ, 2])*V2) /.{λ-> (Subscript[λ, 2])}

(D1 = {{(Subscript[λ, 1]),0},{0,(Subscript[λ, 2])}})//MatrixForm

(Q1 = Join[V1,V2,2])//MatrixForm

Inverse[Q1]//MatrixForm

Simplify[Q1.D1.Inverse[Q1]]//MatrixForm

A//MatrixForm

(D2 = {{(Subscript[λ, 2]),0},{0,(Subscript[λ, 1])}})//MatrixForm

V2p = {{-4},{-4/Sqrt[2]}};

V1p = {{7},{-7/Sqrt[2]}};

(Q2 = Join[V1p,V2p,2])//MatrixForm

Q1//MatrixForm

Simplify[Q2.D2.Inverse[Q2]]//MatrixForm

MatrixExp[A]//MatrixForm

Q1.MatrixExp[D1].Inverse[Q1]//MatrixForm

Q2.MatrixExp[D2].Inverse[Q2]//MatrixForm

MatrixExp[D1]//MatrixForm

MatrixExp[D2]//MatrixForm

B = {{4,-2,6},{3,-7,5},{1,8,2}};

N[Eigenvalues[B]]

P2 = Det[B-λ*IdentityMatrix[3]]

N[Simplify[Solve[P2==0,λ]]]

Chop[N[Simplify[Solve[P2==0,λ]]]]

Plot[-28+74 λ-(λ^2)-(λ^3),{λ,-10,8}]

(Subscript[λ, 1])=7.908905219802979; 
(Subscript[λ, 2])=-9.289994054065565;(Subscript[λ, 3])=0.3810888342625862;

V1 = {{(Subscript[v, 1])},{(Subscript[v, 2])},{(Subscript[v, 3])}};

Solve[(B-(Subscript[λ, 1])*IdentityMatrix[3]).V1 ==0,{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}]

V1 = {{1},{0.47253498654277487},{0.8089958654814215` }};

V2 = {{(Subscript[v, 1])},{(Subscript[v, 2])},{(Subscript[v, 3])}};

Solve[(B-(Subscript[λ, 2])*IdentityMatrix[3]).V2 ==0,{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}]

V2 = {{1},{2.0408611238115584`},{-1.5347119677404077`}};

V3 = {{(Subscript[v, 1])},{(Subscript[v, 2])},{(Subscript[v, 3])}};

Solve[(B-(Subscript[λ, 3])*IdentityMatrix[3]).V3 ==0,{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}]

V3 = {{1},{-0.0027578124819933898`},{-0.6040711317835668` }};

D1 = {{(Subscript[λ, 1]),0,0},{0,(Subscript[λ, 2]),0},{0,0,(Subscript[λ, 3])}};

(Q1 = Join[Join[V1,V2,2],V3,2])//MatrixForm

Simplify[Q1.D1.Inverse[Q1]]//MatrixForm

B//MatrixForm

MatrixExp[N[B]]//MatrixForm

Q1.{{Exp[(Subscript[λ, 1])],0,0},{0,Exp[(Subscript[λ, 2])],0},{0,0,Exp[(Subscript[λ, 3])]}}.Inverse[Q1]

Q1//MatrixForm

N[Eigenvectors[B]]//MatrixForm