(B = {{2,2,2},{-1,-1,3},{5, -15, -1}})//MatrixForm

N[Eigenvalues[B]]

(Subscript[λ, 1]) = 3.4733934387200556;

V = {{(Subscript[v, 1])},{(Subscript[v, 2])},{(Subscript[v, 3])}};

SolnsV1=Solve[(B-(Subscript[λ, 1])*IdentityMatrix[3]).V == 0,{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}]

V1 = ({(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}/.SolnsV1[[1]])/.{(Subscript[v, 1])-> 1.1}

B.V1//MatrixForm

(Subscript[λ, 1])*V1//MatrixForm

(Subscript[λ, 2]) = -1.7366967193600278`+6.5611238736292465` I;

SolnsV2 = Solve[(B-(Subscript[λ, 2])*IdentityMatrix[3]).V == 0,{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}]

V2 = ({(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}/.SolnsV2[[1]])/.{(Subscript[v, 1])-> 1.1}

B.V2//MatrixForm

(Subscript[λ, 2])*V2//MatrixForm

(Subscript[λ, 3]) = -1.7366967193600278`-6.5611238736292465` I;

SolnsV3 = Solve[(B-(Subscript[λ, 3])*IdentityMatrix[3]).V == 0,{(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}]

V3 = ({(Subscript[v, 1]),(Subscript[v, 2]),(Subscript[v, 3])}/.SolnsV3[[1]])/.{(Subscript[v, 1])-> 1.1}

V2

B.V3//MatrixForm

(Subscript[λ, 3])*V3//MatrixForm

(QMat = Transpose[{V1,V2,V3}])//MatrixForm

Originally we had the matrix exponential here, which was not what we were supposed to be doing here!

(DMat = Chop[DiagonalMatrix[{(Subscript[λ, 1]),(Subscript[λ, 2]),(Subscript[λ, 3])}]])//MatrixForm

Chop[QMat.DMat.Inverse[QMat]]//MatrixForm

B//MatrixForm